Sayfa: [1] |   Aşağı git
  Yanıtla  
Konu: matematik ve diğer bilimlerle ilişkisi  (Okunma Sayısı 23694 defa)
blknt_mbg
Ziyaretçi
« : Nisan 02, 2007, 09:54:11 ÖS »
Quote

Sponsorlu Bağlantılar


İlk durağımız ünlü Rus matematikçi Anotalii T. Fomenko’nun çalışmaları var. Özgeçmişinden Anlaşıldığına göre Fomenko,tam bir harika çocuk ve öğrencilik yaşamı boyunca ödüllerle ve ma- dalyalarla dolu.Matematik eğitimini Moskova Üniversitesi Mekanik ve Matematik Bölümü’nde tamamlamıştır.Başarılı akademik kariyeri boyunca 140 ‘dan fazla yayımlanmış makalesi ve 16 ‘ yı aşan kitabı bulunmaktadır.
Böylesi güçlü matematikçi kimliğin yanında resim, küçük yaşlardan beri amatör bir ressam olan annesinin etkisiyle sürdürülen bir uğraş olarak belirir.Matematiği hep çizerek ifade etmiştir.Bunun nedenini açıkça belirtir:”...Ben bir matematikçiyim. Çizimlerim   il- ginç ve ilgi çekici  matematik dünyasının fotoğraflarına benziyorlar.Banagöre önemli olan sanat-çı  olmak değil ama bu dünyanın görüntülerini sunmaktır.Böylece  diğer insanlarda  bu  dünyaya katılabilirler.” (4)

FOMENKO İLE TOPOLOJİ:
Fomenko, daha çok matematikteki çalışma  alanı olan  topolojik  nesneleri ve  olayları  resmeder.Topoloji çağdaş matematiğin en hızlı gelişen  ve yaygınlaşan alanı olarak bilinir. Kabaca ” esnek madde  geometrisi” olarak anımlanabilecek topolojide sadece noktalar kümesi anlamına  gelmeyen esnek bir maddeden  yapıldığı düşlenen objeler deforme edilerek birbirlerine dönüştürülebil-lir.Yırtmadan ve kesmeden, ezip büzüştürülerek  veye çekip genişletilerek  yapılan  bu  dönüşüm fonksiyonu homeomorfizmdir.Bir karenin daireye, kübün piramite, bir  torusun  kahve fincanına, üç kulplu kürenin üçlü torusa,daha da ilginci bir noktası atılmış kürenin reel düzleme (R2) home-omorfik olması gibi.

Topoloji öğrenmek insanın algısını biraz farklılaştırıyor çünkü  konu  olan  nesneler  ve  bunların elde edilme yöntemleri olağan dışı özellikler gösteriyor.tecrübe etmek için  şekil 2’de görülen esnek dikdörtgenleri ok yönünde yapıştırın. Fiziksel anlamda bu işlemleri sonuçlandırmak  genelde mümkün değildir. Bu yüzde dış gücünüzü yardıma çağırmanız gerekecek. Bu yöntemle oluşturulan Mobius şeridi tek yüzlü yönlendirilemeyen  bir  nesnedir.  Bir  diğride  ünlü  Klein şişesi,  iki Mobius şeridini yapıştırılması ile elde edilir.

FELİX  CHRİSTİAN KLEİN:
Klein, 25 Nisan 1849’da şimdi Almanya, o zamanlar Prusya sınırlarına dahil olan  Düsseldorf’ta doğmuş ve  hayata  gözlerini  22  Haziran  1925’de, Almanya’nın  Göttingen  kentinde  kapamış. Klein, doktarasını 1868 yılında yıllar boyu matematik ve fizik alanlarında çalışma  yaptığı  Bonn Üniversitesi’nden almış.Çeşitli üniversitelerde öğretim görevlisi  olarak  çalışmalarda  bulunduktan sonra 1886’da kürsü başkanlığına kadar yükseldiği Göttingen Üniversitesi’ndeki çalışmalarını vefatına kadar sürdürmüştür.

MATEMATİK DÜNYASINI FOTOĞRAFLAMAK:

Topoloji, matematikçinin oyun düşkünlüğüyle iyi örtüşen eğlenceli bir uğraş ve bir  yığın  görsel
malzemeyle dolu.Tabiki matematikçiler için asıl heyacan verici olan bu oyunların ardındaki teori Fomenko ise doğası doğası kolay algılanamayan bu dünyayı resmetmeye çalışır. Resim yaparken bir yolculuğa çıktığını ve başlangıçta neler olacağını hiç bilmediğini söyleyen sanatçı,yol boyun-
ca edindiği izlenimleri, tecrübeleri aktarmak ister ve bunu fotoğraf çekmeye  benzetir. Gördükle-
rini ve hissettiklerini belgelemek için çizer.Resimlerinde kurguladığı  mekanlarda  Rus masalları,
Yunan mitolojisi, antik  çağın  öykülerinden  faydalanır. Eserlerindeki  mistik  ve  dinsel hava da
bundan kaynaklanıyor olmalı. Mekânlar alabildiğine büyük; insanlar  alabildiğine  küçük!  Sanki
herşey  bu  zavallı  insanların dışında geliyor ve onların acizane yapabildiklerini hiç birşey  etkili olamıyor: ‘Biz, şu öğrenen adamlar, tahmin edemediğimiz şeylerin her an olabileceği,fırtınalı bir
dünyada yaşıyoruz’. Resimlerin kaotik yapısı, izleyici zor durumda bırakacak  kadar  karışık  bir-
çok detayla dolu olması bu fikre dayanıyor.


MÜZİK VE MATEMATİK:

Müzik ve matematik ilişkisi Fomenko’nun resimlerinde de gündemdedir. Aktif  olarak  Moskova
Üniversitesi Topaz Müzik Grubu’nda müzik yapan Fomenko’nun resimleriyle müzik arasında  ö-
nemli bağlar bulunur. Fomenko’ya göre müzikle matematiğin temel motifi sonsuzluktur: ‘Profes-
yonel matematikçiler sürekli olarak sonsuzluk  kavramıyla  ilgilenirler.Bu yüzden, tam olarak ta-
nımlanamasada sonzuza ait belirgin ve güçlü bir hisse  sahiptirler.  Pek  açıkça  görülmese de  bu
durum müzik için de böyledir. Her iki alan da ortak ve yüksek bir soyutlama  düzeyine  sahiptir’.
(4).Sonsuzluğun görsel ifadesine daha önce Escher’de tanık olmuştuk.Fomenko’da bu ifade mate
matiksel sonsuzluk (Mathematical Infinity) resminde belirtiyor:kocaman bir kafa ve ona yakınsa-yan ve acı içinde bağıran bir yığın yüz.Topolojik açıdan bakıldığında  tüm insanlar  birbirine  ho-
meomorfiktir; deforme edilerek biri diğerinden elde edilebilir.  Tek  ve  ideal bir  kahraman  olsa
bütün insanlar ona dönüştürülülebilir.tipik bir limit  probleminin  görüntüsü olarak  düşünülebile-cek bu resimde sonsuzdaki(?) bu kahramana  ulaşmak / ulaşamamak, oldukça  acı verici  görünü-yor.

Fomenko’nun  görüntülediği  bu  dünyada  onun izlenimlerine  tanık olmak  pek de  kolay  değil. Oldukça detaylı, karışık,iç içe geçmiş yapılar;koyu keskin gölgeler, ilginç teorik isimler , zor kav
ramlar...Saanatçının kendisi  de bu resimlerin belli bir düzeyde matematik  bilmeden  anlaşılama-yacağını itiraf etmektedir.


BRONZ  VE TAŞ ÜSTÜNE KURAMLAR:

Üçüncü durağımız oldukça renkli bir kişilik ,Amerijalı sanatçı Heleman R.P. Ferguson.Sanat eği-timini resim ve  heykel  üzerine  Hamilton  Koleji’nde  yapan   Ferguson, matematik  profesörlük  derecesini Washington Üniversitesi’nde almıştır.Bilgisayar destekli ve  bunun için  yazılacak  al-
goritmalar üzerine yapılan araştırmalar yapmıştır. Yaşamını  heykel  yaparak   sürdüren  sanatçı,
matematiğin kendine özel  estetik bir tarafı olduğuna inanmaktadır.Ferguson ,”Matematiğin  kay-
nağı, enerjisi , zekası, sofistike yapısı estetik sanat esrlerinin yaradılışını geliştirmek  üzere   kul-
lanılırsa ne olur?”  sorusunun cevabını arar.Sanatçı Haziran 1991’de New York Bilimler Akade-
misi’nde  izlenen  “Bronz ve Taş Üzerine 16 Kuram” adlı sergisi bu soruya  bir cevap niteliği  ta-şır.Ferguson yaşamsal görünümlerin  tasarım dili olarak kabul ettiği matematiği bir  sanat  ve  bi-lim formunda heykelleştirirken, bize de bu  formlarda  zihinsel güzelliği  duyumsatarak  önyargı-latımızdan kurtulmamızı sağlamayı amaçlamaktadır.Bu misyonu şöyle ifade  eder:  ”Güzellik  ve gerçek :heykellerimin birleştirip yücelltiği iki olgu.Ruhu  harekete  geçiren  heykellerin güzelliği ve zihni harrekete geçiren matematiksl gerçek. Benim yaptığım bu.”(2)   

Matematiksel  gerçek ve matematiksel estetik, Umbulic Torus Nist NC’de vücut bulmuştur. Hey-
Kelin formunda hemen okunabilecek süreklilik, ilginç dokusu, eski eserleri anımsatan rengi, Fer-
guson’nun yaratıcılığı  ve  yetkinliği  hakkında  ilk fikirleri  vermektedir. Heykelin en ilginç yanı
ise onun yaratılış sürecidir. Bilgisayar  destekli  üretim  tekniklerinin  uygulandığı  heykel  formu
ax3 + bx2y + cxy2 + dy3 kübik reel binom denkleminin a, b, c, d  katsayılarının  dört  boyutlu  reel
uzayda parametrizasyonu sonucunda elde edilir. Bu işlem 2 x 2 reel elemanlı, tersi hesaplanabilir matrislerin oluşturduğu grubun x ve y değişkenleri üzerindeki etkisinedayanılarakyapılır.Yapılan
işlemler  sonrasında  oluşan  farklı  görüntüler  arasında  Euclid uzayındaki en güzel form sanatçı seçiliğiyle belirlenir. Bu bir umbilic torustur.

Heykelin formu yanında dokusu da ilginç bir  konu  olan Peano-Hilbert  uzay doldurma eğrisinin
5. dereceden uygulamasıyla elde edilir(şekil 3). Uzay doldurma eğrisi bir  doğru  parçasından  bir
düzleme tanımlanan bir fonksiyon olarak düşünülebilir.Şekil 3’te görüldüğü gibi eğri sürekli tek-
rarlanan bir işleme inşa edilmiştir.
Bu işlem sonsuz çoklukta tekrarlandığında eğrinin düzlemi bir noktadan  bir  ve  sadece  bir  kere
geçerek  dolduracağı  ispatlanabilir. Tek boyutlu  eğri  giderek  iki boyutlu düzleme yansımakta-dır(Bu ve buna benzer eğriler bugün tanımlanmış olan fraktal yapıların temelini oluşturmuşlardı)

Heykel ve doku şekillendikten sonra gerekli koordinatlar hesaplanarak bilgisayara aktarılır ve sa-
yısal kontrollü oyma makinası ile pozitif çıktı alınır. Bu pozitif çıktı geleneksel  heykel  teknikle- riyle bronza dökülerek son halini alır. Heykel doğduğu kuramdan  daha  fazlasını  aktarıyor: ”Bir heykel nüansa, gizeme, sese, sıcaklığa, tarihe, birkaç anlam düzeyine  ve  kendi  orijininin tanım-
landığından daha fazla referansa sahip olabilir. Ama benim yaptığım sadece heykel değil.Ben so-
yut matematiğin tahmin edilmeyen fiziksel formlara dönüşme macerası ile ilgileniyorum.”      (2)
Bir diğer macera, mermer kullanarak oyma tekniğiyle yapılmış Whaledream 2 .  Whaledream   2, Alexander'ın Boynuzlu Küresi (Alexander’s Horned Sphere) olarak  bilinen yapının  bir   çeşitle-
mesi olarak karşımıza çıkıyor. Alexander’ın Boynuzlu Küresi’nin ilginç bir öyküsü vardır.   J.W.
Alexander 1921’de, düzlemdeki bütün kapalı eğrilerin topolojik  bir diski  sınırladığını  söyleyen
Schoenflies Toeremi’nin  genelleştirilmiş  halini  yayımladı. Alexander  bu  yayında,  üç  boyutlu
Euclid uzayında iki boyutlu topolojik kürenin  üç boyutlu  topolojik  bir  topu sınırladığını söyle-
mişti. Bu önermenin yanlışlığı  örneklerle  ispatlandı. Alexander, bu  yanlışlığın  farkına  vararak
kendi  karşı-örneğini  üretti. Bu da  Alexander’ın Boynuzlu  Küresi olarak  bilinen yapıdır. İnşası uzay doldurma eğrilerine benzeyen Alexander’ın boynuzlu küresini şöyle tarifleyebiliriz(şekil 4)

Bildiğimiz  küreyi  deforme  ederek  iki  boynuz  çıkaralım  ve bunları birleştirecakmiş gibi karşı karşıya getirelim. Birleştirmeden her bir boynuzdan iki  boynuz  daha  çıkaralım  ve  bunları yine birleştirecekmiş gibi karşı karşıya getirelim...Bu işlem sonsuz çoklukta  tekrarlanabilir ve işlemin
limiti alınırsa bize bilinen küreyi verir. Elde  edeceğimiz  çok  boynuzlu  kürenin  normal  küreye
denk oluşu şaşırtıcı değil. Çıkardığımız  boynuzları  hiç  birleştirmedik! (Birleştirseydik  bir kulp
yapmış  olacaktık  ve tabii ki kulplu bir küre normal küreye homeomorfik değildir). Bu  ve  buna
benzer akıcı yapılar sanatçının heykellerinde sıklıkla görülür.

Ferguson’un heykellerinin yarattığı heyecan sadece formların başarısından değil, onların gerisin-
deki  ilgimç  kuramlardan  doğuyor.Eserlerindeki yalınlık, süreklilik, yumuşaklık; bronzun, taşın
ve kuranın soğukluğuna karşı duruyor.

M.C. ESCHER

Son olarak M.C Escher’e uğruyoruz.1898 ve 1971 yılları arasında yaşamış  Hollandalı  grafik sa-
natçısıdır. Mimarlık eğitimi almıştır. Escher’in sanatı, aldatıcı bir perspektif  kullanarak  çevreyi iki boyuta indirgemeye dayanır. Şekillerini incelerken göz yanılması meydana gelir. Ayrıca siyah
beyazın kesin karşıtlığı, gölgeleme ve belli belirsiz ton farklılıkları gibi grafik teknikler üzerinde
çalışmıştır.

Escher  matematik  ya da  fizik üzerine  cidi  bir  eğitim  almamış olmasına karşın, dönemin ünlü matematikçileri tarafından saygıyla ve ilgiyle takip edilmiştir.Escher’in ölümünden sonra onu ör-
nek  alan  pek çok  grafik  sanatçısı vardır. Escher’in  tekniğiyle  yapılan çizimler günümüzde  de mevcuttur.

Onun eserleri matematiğin görselleştirilmesi konusunda verilmiş ilk örneklerdir. Sanatçının  ken-disi de matematiğe yakınlığını şöyle ifade etmiştir:“Bizi saran muammaları göğüsleyerek ve yap-tığım gözlemleri analiz ederek matemetiğin egemen olduğu alana eriştim.Bilim eğitiminden yok-sun olmama rağmen kendimi sanatçı arkadaşlarımdan çok matematikçilere yakın hissettim.”.  (1)  Bahsettiğimiz  kişiler  halihazırda Escher’den etkilenmiş, hatta onunla iletişime geçmiş kişilerdir.
Sanatçının çalışmalarını birer “ilk” veya “önder” olarak kabul edebiliriz.Yine de Escher’in mate-matiksel bir kaygıyla yola çıktığını öne sürmek yanlış olur. Sanatçı kurmak istediği dünyaları ya-ratabilmek için matematikten faydalanmıştır. Kısa ve duru bir bakışla yeniden gözden  geçirirsek
eserleri birkaç grupta ele alabiliriz:

DÜZLEMİ DÜZENLİ OLARAK BÖLME:

Bu  teknikle yaptığı resimlerde  sanatçı, bir ya da birkaç motifi hiçbiri birbirinin üstüne gelmeye-cek ve aralarında boşluk kalmayacak şekilde birbirlerini nasıl çevreleyebileceklerini araştırır. Bu yöntem matematikte düzlem doldurma problemi (Plane Tiling Problem) ile çakışır.  Matematikçi daha global bir yaklaşımla bir düzlemde bulunan mozaik yapıdaki simetri gruplarını  araştırıp ta-nımlamak ister. Escher bu işlemi çeşitli hayvan figürleri-özellikleri balık-kullanarak fantastik  bir şekilde icra eder. Bu gruta toplanan çalışmaları arasında en etkiliyici olanları  hiperbolik  düzlem kullandığı “Çember Limiti”  (Circle Limit) serisidir  (şekil 5).Hiperbolik düzlem Euclid olmayan geometrilere örnek olarak Poincare tarafından geliştirilmiştir.

METEMORFOZLAR:

Bu seride yüzey-figür ilişkisi çarpıcı bir şekiilde vurgulanırken, imkansız olan boyutlar arası yol- culuk da resmedilir.“Sürüngenler” ve “Gece ile gündüz” isimli resimlerindeki bu özellik,1978’de Roma’da çekilen matematik üzerine yapılmış bir dizi  filmde  animasyon  tekniğiyle  canlandırıl-mıştır. Formda doğa da değişim anlamına gelen  metamorfozlarda,  düzlemdeki  düzenliliği  boz-madan sürekli deforme edilen şekiller birbirine dönüşür.       

PARADOKSLAR:

Paradoks: Görnüşte yanıltıcı olan şey yada durumdur.Paradosklar,  bilinen batı  felsefesinin  baş-
langıcına  dayanır.Paradokslar çok uzun yıllardan buyana olmalarına rağmen matematik dünyası bunları 20 yy. da keşfetmiştir.

Escher’in en vurucu işleri paradoks ve sonsuzluk kavramlarını  işlediği  resimlerdir. İmkansız  fi-gürleri kullanarak inşa ettiği dünyalar bizi çelişkiye götürür.Döngüsel paradoksları yaratmak için   
kurduğu hiyerarşik düzenlerde sürekli yukarıya ya da aşağı hareket etseniz de, hiyerarşinin  gere- ğine rağmen, yine başlangıç noktasına gelirsiniz.Bu gibi döngüler Bach’ın müziğinde de yer alır.
Bach müziğini bestelerken kanonlar sayesinde kurduğu döngüler içinde  notaların  harflendirilme sisteminden  yararlanılarak  adını  sonsuz kere zikrettirir. D.R. Hofstadler ünlü “Gödel Escher ve Bach” adlı  kitabında   bu üç  şahsiyeti  döngüsel  paradokslarda  buluşturur. Bu yüzyılın  önemli makalelerinden birini yazan Gödel, matematiği dizgeleştirme  çabalarının  sonuç  vermeyeceğini, kendi içinden çıkıp kendine dönen bir paradoksun  varlığını  göstererek  kanıtlar. Escher’in  “Re- sim Galerisi” adlı eseri -kabaca- bu kanıtın görsel ifadesidir. Önemli bir teorem ve  ilginç  bir  re-sim aynı anlatıma ulaşıyor!!

Escher’in  eserlerinin okunurluğu, akıcı anlatımı, iyi kurgulanmış güçlü yapısı iz bırakıcıdır.Dik-
katli bir göz sanatçının resimlerinde tanık olduğu gariplikleri kolay kolay unutmaz.Escher olduk-ça sofistike  ve  detaycı  işçiliğiyle  matematiğin örgüsüyle çakışır. Yaşamında ve sonrasında çok tartışılmış bir sanatçı olan Escher,matematikçi olmasa da çalışmaları pek çok matematikçiyi etki-leyegelmektedir.

MATEMATİK VE SANAT ÜZERİNE

Matematikle sanat oldukça farklı alan olarak karşımızda. Malzemeleri, teknikleri, yöntemleri  ve doğal olarak ürünleri farklı. İlk bakışta hemen göze çarpan ve rahatsızlık veren bu ayrılık,  ortak- lıkların varlığına engel değil. Matematik de sanat da, diğer bilimler gibi, insanoğlunun içine doğ-duğu  ortamı  anlama çabası sonucu doğadan doğmuştur. Zaman zaman doğaya aykırı görünseler de iki alan da doğanın soyutlaması, yorumu, hatta yeniden sunumudur.  Sayılar,  denklemler,  bu halleriyle doğada yoktur ama resimler ve heykeller gibi doğayı betimler ve düşüncemize yeniden sunarlar. Her iki alanda ilgilenmek insanın entellektüel  etkinliğini  artırır. Kişi  matematik  öğre-nerek veya sanatla uğraşarak, burada sıralamaya  gerek olmayan kazanımlar elde eder. Ne  yazık
kısır gündelik yaşantımız içinde bunun farkına varamayız!

Mathart:matematiksel sanat, matematiğin şaşırtıcı sonuçlarından biri .Bu sonucu karşımıza  çıka-
ran  kişiler matematiği  yeni bir iletişim alanına taşımak istiyorlar. Bu, sanat  eserinin  etki  alanı-
dır.  Ne de  olsa  sanatın cazibesi  daha  çok  kişiyi  kendine  çeker.Böylece daha çok insan mate-
matiksel düşünceyi ve onun  doğuracağı  etkiyi paylaşabilir.Matematiksel sanat, bu kendine özgü savıyla  merak etmeye değer.


Kaynaklar:     
 Bilim Teknik dergisi/1995/kasım   
 1)Boll F.H. Escher Complete Graphic work,Thomes and Hudson 1993
 2)Connon J.W. “Mathematics in marble and Bronz:.Sculptures of Heleman R P .Ferguson”             
 Matematical intelliger cilt 13 sayı1 kış 1991
 3)Coxeter H.S.M. Escher Art and Science,Elsevier scienca publishers 1990
 4)Fomenko,A. Mathhematical impresssions, America Mathematical Society,1990
 Bilim Teknik Dergisi:1997/şubat



Sponsorlu Bağlantılar


- matematik ve diğer bilimlerle ilişkisi
DarkWater
Têknîk Üye [%30]
******

İtibarı : 534
Offline

Mesaj Sayısı: 2,949


Ben Olda Gör..















« Yanıtla #1 : Nisan 03, 2007, 12:14:58 ÖÖ »
Quote


güzel pylşm teşekkürler



Benim Sözlerim O'nu(s.a.s.)Güzelleştirmez ...Aksine Ben Onun İsmini Anarak Sözlerimi Güzelleştiriyorum...
Nymphetamine
Ziyaretçi
« Yanıtla #2 : Ağustos 22, 2007, 10:32:23 ÖÖ »
Quote


paylaştığın için teşekkürler


efendy42
Ziyaretçi
« Yanıtla #3 : Şubat 10, 2008, 07:02:09 ÖS »
Quote


paylaşım için tşkler Smiley


Sayfa: [1] |   Yukarı git
  Yanıtla  
 
Gitmek istediğiniz yer:  

+ Hızlı Cevap
Hızlı cevap'ı kullanarak hemen mesaj gönderebilirsin. Gülümseme ve kod kullanabilirsiniz.



Hosting Hizmetleri